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討論主題

拓樸學

發表人

微積分　

發表日期

6/3/2011 1:45:13 PM

發表內容

拓撲學，是近代發展起來的一個研究連續性現象的數學分支。中文名稱起源於希臘語「Τοπολογία」的音譯。Topology原意為地貌，於19世紀中期由科學家引入，當時主要研究的是出於數學分析的需要而產生的一些幾何問題。發展至今，拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變數。

分支學科
拓撲學又稱為一般拓撲學
代數拓撲學
微分拓撲學
幾何拓撲學
拓撲學的主要應用是在分子生物學中。當談到脫氧核糖核酸的三級結構，就必然會談到所謂的「超螺旋結構」。這種超螺旋結構可以解釋為：發生螺旋纏繞的螺旋結構，換句話說，就是一個螺旋結構再一次進行螺旋纏繞。脫氧核糖核酸原本就是雙股螺旋，而這雙股螺旋又會再進一步進行螺旋纏繞，形成所謂的超螺旋結構。

拓撲學就是用來研究超螺旋結構的一種工具。拓撲學主要探討的是在連續性變化中（比如因為溫度改變而發生構型改變時，或因為與蛋白質作用而發生交互作用時）的變形現象。拓撲性質不包含非連續性變化時產生的變形作用（雙股螺旋被剪開時的狀況）。對於去氧核糖核酸而言，那些當沒有打斷股鏈時，不受變形現象而改變的性質就叫拓撲性質。拓撲性質的改變只受到打斷股鏈或將股鏈粘合的影響。

著名學說柯尼斯堡七橋問題

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微積分 在6/3/2011 1:49:45 PM的回覆：
微積分學
微積分學（Calculus，拉丁語意為用來計數的小石頭）是研究極限、微分學、積分學和無窮級數的一個數學分支，並成為了現代大學教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講，微積分學是一門研究變化的科學，正如幾何學是研究空間的科學一樣。

微積分學在科學、經濟學和工程學領域有廣泛的應用，用來解決那些僅依靠代數學不能有效解決的問題。微積分學在代數學、三角學和解析幾何學的基礎上建立起來，並包括微分學、積分學兩大分支。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行演繹。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中，微積分學通常被稱為分析學，並被定義為研究函數的科學。

微積分的主要內容
微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算，牛頓和萊布尼茨發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究，而這個發現也使得我們在微分和積分之間可以互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法，也就是用不定積分法取代極限運演算法。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。

微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。

微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。

極限
微積分中最重要的概念是「極限」。微商（即導數）是一種極限。定積分也是一種極限。

從牛頓實際使用它到制定出周密的定義，數學家們奮鬥了200多年。現在使用的定義是魏爾斯特拉斯於19世紀中葉給出的。

數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時，如果存在一個有限數（非無限大的數），使這個數列可以無限地接近這個數，這個數就是這個數列的極限。

數列極限的表示方法是：
其中 L 就是極限的值。例如當時，它的極限為 L = 0。就是說n越大（越往前延伸），這個值越趨近於0。

導數
我們知道在運動學中，平均速度等於通過的距離除以所花費的時間——在一小段間隔的時間內，除上其走過的一小段距離，等於這一小段時間內的速度，但是當這一小段間隔的時間趨於零，也就是瞬時速度時，則無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數，得用求導的方法計算。也就是說，一個函數的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化；當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。

微分學
微分學主要研究的是在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率（或微分）。換言之，計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法，該演算法又叫應用幾何法，主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。

積分學
積分學是微分學的逆運算，即從導數推算出原函數,又分為定積分與不定積分。一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，約等於函數曲線下包含的實際面積。因此，我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。而不定積分的用途較少，主要用於微分方程的解。

回覆	高級中學理科數學在6/3/2011 1:54:26 PM的回覆：上 ch.1極限與導數 ch.2導數的應用 ch.3積分及其運用 ch.4其他初等函數 ----- 下 ch.1數值方法 ch.2矩陣

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高級中學普通數學 在6/3/2011 2:04:10 PM的回覆：
上
ch1.數與式
   1.1因數與倍數
   1.2多項式
   1.3因式與倍式
   1.4數列與級數
   1.5數學歸納法
ch.2方程式
   2.1一元一次方程式
   2.2二元一次方程式
   2.3三元一次方程式
   2.4一元二次方程式
   2.5一元n次方程式
ch.3不等式
   3.1次序關係的基本性質
   3.2一元一次不等式
   3.3二元一次不等式
   3.4一元高次不等式
   3.5一個重要定理的運用
ch.4指數，對數與三角函數
-------------------
下
ch.1坐標幾何
   1.1平面與空間中的向量
   1.2平面與空間中的直線
   1.3圓以及圓和直線的關係
   1.4平面與球面
   1.5圓錐曲線
ch.2排列，組合與機率
   2.1乘法原理與加法原理
   2.2排列
   2.3環狀排列
   2.4組合
   2.5二項式定理
   2.6古典機率
   2.7數學期望值

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數學史話 在6/3/2011 9:15:35 PM的回覆：
數學史話History   of   mathematics，初版，台灣東華書局   股份有限公司，2003

第一章            源
      1.1                  數字的傳說
      1.2                  基本幾何圖形的生成
      1.3                  數學符號的發明
第二章            上古時期人類數學的發展
      2.1                  中國的工匠、規矩與勾股形
      2.2                  古希臘數學先行者-畢薩哥拉斯
      2.3                  墨家與墨家的數學成就
      2.4                  德歐幾里得與幾何原本
      2.5                  一位能夠移動地球的數學物理學家-阿基米得
第三章            兩漢時期與魏晉南北朝
      3.1                  周髀算經
      3.2                  劉徽與九章算術注
第四章   中古世紀歐洲數學的啟蒙
         4.1            中世紀歐洲一位傑出的數學家
         4.2      一場數學風暴、一個歷史懸案
         4.3      一元三次方程式的公式解
第五章   巨人的鋒芒－近代科技的始祖
         5.1            代數學的先知笛卡爾
         5.2            謎一樣的數學家-費馬
         5.3            流數術的發明-牛頓
         5.4            另一個微積分英雄-萊布尼茲
         5.5            尤拉與柯尼斯堡城的數學遊戲
第六章   重拾微積分的信心
         6.1      重整微積分嚴密性的頭號功臣-柯西
         6.2      德國數學王子-高斯
         6.3      二十世紀最偉大的數學家-希爾伯特

回覆	Ｊ在6/4/2011 12:50:49 AM的回覆：你只是po一堆事實，既無論證也無分析搞不懂尊下跑來法律版把這些複製貼上的東西抓來幹什麼事實太多不會令人消化不良而是我們台灣的教育專教如何推砌事實包括數理教育

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幾何學 在6/4/2011 12:25:07 PM的回覆：
幾何學，簡稱幾何，是研究空間關係的數學分支。

現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高，並與分析、抽象代數和拓撲學緊密結合。

簡史
幾何一詞源於《幾何原本》的翻譯。《幾何原本》是世界數學史上影響最為久遠，最大的一部數學教課書。《幾何原本》傳入中國，首先應歸功於明末科學家徐光啟。徐光啟和利瑪竇《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻是確定了研究圖形的這一學科中文名稱為「幾何」，並確定了幾何學中一些基本術語的譯名。「幾何」的原文是「geometria」，徐光啟和利瑪竇在翻譯時，取「geo」的音為「幾何」（明朝音: gi-ho），而「幾何」二字中文原意又有「衡量大小」的意思。用「幾何」譯「geometria」，音義兼顧，確是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天，且東渡日本等國，影響深遠。

幾何學有悠久的歷史。最古老的歐氏幾何基於一組公設和定義，人們在公設的基礎上運用基本的邏輯推理構做出一系列的命題。可以說，《幾何原本》是公理化系統的第一個範例，對西方數學思想的發展影響深遠。

一千年後，笛卡兒在《方法論》的附錄《幾何》中，將坐標引入幾何，帶來革命性進步。從此幾何問題能以代數的形式來表達。實際上，幾何問題的代數化在中國數學史上是顯著的方法。[來源請求]笛卡兒的創造，是否有東方數學的影響在裡面，由於東西方數學交流史研究的欠缺，尚不得而知。

歐幾里得幾何學的第五公設，由於並不自明，引起了歷代數學家的關注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何。

幾何學的現代化則歸功於克萊因、希爾伯特等人。克萊因在普呂克的影響下，應用群論的觀點將幾何變換視為特定不變量約束下的變換群。而希爾比特為幾何奠定了真正的科學的公理化基礎。應該指出幾何學的公理化，影響是極其深遠的，它對整個數學的嚴密化具有極其重要的先導作用。它對數理邏輯學家的啟發也是相當深刻的。

名稱的來歷
幾何這個詞最早來自於希臘語「γεωμετρία」，由「γέα」（土地）和「μετρε ĭν」（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。後來拉丁語化為「geometria」。中文中的「幾何」一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。當時並未給出所依根據，後世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意並譯。用「幾何」的音來表達，關於數與量的，用「幾何」的義來表達。換句話說，徐光啟心目中的「幾何」，可能就是今天我們所謂的「數學」。所以他為譯本所取的名字，以今日用語再翻譯一次，就是：《基礎數學》。所以如果了解《幾何原本》為《基礎數學》，它當然會包含像輾轉相除法這樣的課題。希臘語GEO+METRY按照字源意思是「地理測算」的意思，所以依照字面意思對照現代分類相當於測算學，分平面測算學與立體測算學。

1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在著另一種譯名——「形學」，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》後9捲出版後，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候才有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勳就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有「形學」一詞的使用出現。

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畢達哥拉斯的 在6/4/2011 12:32:16 PM的回覆：
他認為數學可以解釋世界上的一切事物，對數字癡迷到幾近崇拜；同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實：譬如主張平方數"4"意味「公正」。

相傳當他發現根號2 為無理數時，大為震驚、死不承認。有傳言說在他的學生希帕索斯向外人透露無理數的存在後，畢達哥拉斯下令將其淹死。
--------
畢達哥拉斯希臘語：Πυθαγόρας，約前580年－前500年
對數學的研究還產生了後來的理念論和共相論。即有了可理喻的東西與可感知的東西的區別，可理喻的東西是完美的、永恆的，而可感知的東西則是有缺陷的。這個思想被柏拉圖發揚光大，並從此一直支配著哲學及神學思想。

回覆	數學史在6/4/2011 12:50:58 PM的回覆：廣西師範大學 ch.1上古時代的數學 ch.2希臘數學的起源 ch.3三角數的發明 ch.4亞歷山大科學的衰微--黑暗時期與復興 ch.5東方的數學 ch.6文藝復興時期的數學：從雷橋蒙塔努斯到笛卡爾 ch.717世紀：幾何學的新方法 ch.8力學的興起 ch.9小數和對數的發明 ch.10微積分的發明 ch.11二項式定理和自然哲學的數學原理 ch.12分析方法的發展 ch.13從歐勒到拉格朗日 ch.14近代幾何的開端 ch.15算術--數學中的女王

回覆	台女在6/4/2011 12:51:01 PM的回覆：廢話一堆宅男

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智商166 在6/4/2011 2:55:18 PM的回覆：
中天新聞》台大數學系出現一位超級天才蔡政江，只花了3年半就修完大學課程，更直接跳級申請哈佛大學博士班獲准，過去參加數學競賽獲獎無數，不過其實蔡政江直到3歲才會講話。
---------------
蔡媽媽說，蔡政江就是對數學有興趣，去年開始又到中山大學預修大學的數學系課程，選修了微積分、現代代數、計算機概論，一共二十學分，若唸國內大學，這些學分都是可以被採認的。

不過，蔡媽媽透露，蔡政江有自己的想法，對於美國麻省理工學院、哈佛大學、史丹佛大學等世界知名大學，有他夢寐以求的學術研究環境與頂尖師資，到目前為止，蔡政江比較偏向考慮明年出國留學，尤其在政府宣佈實施菁英留學計畫後，他更打算出國留學進修，但目前也沒有排除留在國內念大學的機會。(大紀元20050718)

---------------
台大數學系：
學士班畢業學分：128
碩士班：24
博士班：18(逕修博士：30)

回覆	智商在6/4/2011 2:57:14 PM的回覆： IQ測驗結果這近似常態分佈，色塊顯示標準差的不同 140以上天才或近於天才 120-140 智力優異 110-120 智力較高 90-110 普通智力 80-90 遲鈍 70-80 於遲鈍與智能障礙者之間 70以下可歸納為智能障礙者

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高級中學基礎數學 在6/5/2011 10:47:53 AM的回覆：
一
1.數
   1.1整數
   1.2有理數與實數
   1.3複數及其運算
   1.4一元二次方程式的根的討論
2.數列與級數
   2.1等差級數與等比級數
   2.2無窮等比級數與循環小數
   2.3數學歸納法
3.直線方程式與二元一次不等式
   3.1平面坐標系
   3.2直線的斜率與方程式
   3.3線性函數
二元一次聯立不等式與線性規劃
4.二次函數與二次不等式
   4.1二次函數及其圖形
   4.2二次函數的最大值與最小值
   4.3二次不等式
5.多項式
   5.1多項式及其運算
   5.2餘式定理
   5.3最高公因式與最低公倍式
   5.4n次方程式
   5.5實係數多項方程式的近似實根

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高級中學基礎數學 在6/6/2011 11:35:23 AM的回覆：
二
1.指數與對數
   1.1指數
   1.2指數函數及其圖形
   1.3對數及其運算
   1.4對數函數及其圖形
   1.5對數表
2.三角函數
   2.1銳角的三角函數與基本恆等式
   2.2簡易測量與三角函數值表
   2.3廣意角的三角函數
   2.4正弦定理與餘弦定理
2.5三角測量
3.三角函數的性質
   3.1弧度
   3.2三角函數及其圖形
   3.3和角公式
   3.4倍角與半角公式
   3.5和與積互化公式
   3.6正弦，餘弦韓數的疊合
   3.7棣美弗定理
4.平面向量
   4.1向量
   4.2向量的加法和減法
   4.3向量的係數積
   4.4向量的內積
   4.5直線

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天才挖挖哇 在6/6/2011 11:42:32 AM的回覆：
天才是指有著卓越智能或才能的人，這主要體現在超出常人的創造天分或在某一方面的突出才華。

概要
天才一詞「genius」源自於拉丁語，原意是指守護神。隨後衍生出創造能力、天賦、才華等意思。天才，故名思義，是指有天生的才能的人的意思。世上並無天生就會有社會長期發展出的知識、技術的人，但是卻有人天生就有某方面或多方面勝過大多數人的學習能力及創新發展能力。天才不一定是指天生全能之才，有些以語文、數理、領導、藝術、音樂、創造、...能力資優等等來分，但是這樣劃分通常與後天學習及恰符合其才能所需之綜合功能的組合模式有所影響。目前智力測驗和專才資優測驗都會測到許多後天所學，而後天所學是可以靠努力補償的，而且會受文化、成長背景、過去經驗回憶影響。另外，天才要完全發揮其勝過大多數人的認知功能，也要有努力動機、意志力、毅力方面的腦功能發達才行，甚至加上比常人有效率的睡眠生理機制。有長壽基因的人，也比常人易有較高效能、效率且比常人能適應環境變化的生心理結構機能、人際關係、認知功能、人格和個性、體能、建康狀態、體型與外貌(多數人不排斥的外貌)...等。有不少的天才是清心寡慾、淡泊名利、與世無爭，所以也不一定會成為世界上眾所皆知的名人、偉人。大多數的天才(全面型、非部份缺陷型)勤儉、謹慎、幽默、博愛、富有創造力及推理判斷力，健康、學業、事業、人際情感、休閒方面都會有不錯的情況。

定義與評價
發明家愛迪生曾經說過「所謂的天才，是99%的汗水，加上1%的靈感。」而這百分之一是最重要的，否則不稱作天才。比凡說有一道限時間解決的難題，在相同條件限制下，知識與經驗和其他資源也相同的情況下，邏輯型天才會比常人更快解決，而且只有他想得到最能符合目標的最佳方法，常人甚至可能連模仿、理解他的方法都做不到，況且如果想以知識、經驗來彌補，天才也比常人學的快、學得多，也比一般人有持久力，能準確類推並自我發展知識，能很早發現別人沒發現的，比常人更早有較準確的預測與過去的推斷及對於他人想法、情緒、動機的推估；視覺想像型天才可以在腦中似影像處理程式般的變化影像，也可在腦中進行立體影像動態模擬；聽覺想像型天才可以在腦中呈現隨意組合不同音量、音調、音色與節奏、旋律、合音和語氣、語調...等，以及聲音的方位、動向。天才除了天生的資質，後天的勤奮和環境的影響(尤其是污染與經驗)與生理、結構、心理和人際的健康(尤其神經系統、血液循環系統、代謝分泌系統、呼吸系統、消化系統，細胞和胞器的運作效率、種類比例)...等因素都會對人造成很大的影響。天才一般定義為魏氏智力測驗智商130~140以上。但是天才不一定有完整的功能組合可以讓他(她)在某領域稱霸。也許只有某種認知功能較常人有利於大多數環境時期，例如:感覺、注意、知覺、記憶、邏輯、聯想、想像、語言、動作控制、情緒調控...等等其中一項或某些勝過多數人；甚至只是其中某種或某幾種的單位時間內處理量、速率、種類、範圍、持久度、準確度、穩定性、總數量、協調整合...等等某項或某些項目優於常人。其實，擁有多數人相似生心理的常人(代表多數人也擁有)也算是擁有一種天份，因為可以輕易推敲多數人想法；努力、有恆心也是一種天份。天才的誕生往往也離不開一個時代的造就。時代可以造就一個天才，同樣也可以埋沒一個天才。一個時代對於一個天才來講可以說起著極其微妙的作用，歷史上這樣的例子比比皆是，甚至一些極具才華的人物死後才為人所知。天才不一定成功，也不一定快樂安穩，何況當身邊的人不理解他，他又難以改善社會、自然環境中，自己難以認同的事，因為畢竟他是極少數的人。

回覆	數學是邏輯學的一部在6/6/2011 12:20:22 PM的回覆：羅素在1900年便認識到，數學是邏輯學的一部分，他企圖建立邏輯主義數學體系，把整個數學歸納為邏輯學；1910年，他和他的老師阿弗烈·諾夫·懷海德一起發表了三卷本的《數學原理》，在其中對這一概念做了初步的系統整理。

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... 在6/6/2011 12:23:24 PM的回覆：
　《尼各馬科倫理學》（Nicomachean Ethics，亦譯作《宜高邁倫理學》），中心議題在於「幸福」，將之視為人生最終目的與至善，探討了道德行為發展的各個環節和道德關係的各種規定，論述了德性的形成及其類型以及道德行為的準則和人生理想等。

　　在亞氏以前，希臘哲學家們對倫理道德問題都廣泛討論過，可是亞氏卻是第一個道德哲學家，因為他把人生倫理道德的原則原理建立成一種專門學問，可以說他是倫理學的創始者，本書也成為亞氏的主要倫理學著作，西方倫理學史上第一部倫理學專著。

　　全書共十卷。亞氏在一開始時，證明人生有一種最好的目的，人必須認識這個目的，這就要借重倫理學或道德哲學的研究了；以後亞里斯多德也指出研究倫理學最適宜的方法及什麼人適宜研究這門學問。先是把一般人的意見考察之後，指出人的幸福建立在完全合乎理智，完全合乎道德，長久而完善的生活上。這是第一卷所討論的。在第二、三、四、五等卷，亞氏討論倫理道德與相反道德惡習的性質，並在第六卷也討論了理智的德性；在第七卷討論過貞操與縱慾。在八、九兩卷論友愛。第十卷論快樂，並論幸福，而幸福纔是德性的真正目標。

　

回覆	///////// 在6/6/2011 12:27:57 PM的回覆：類星體與一般的那些「平靜」的星系核不同之處在於，類星體是年輕的、活躍的星系核。由類星體具有較大的紅移值，距離很遙遠這一事實可以推想，我們所看到的類星體實際上是它們許多年以前的樣子，而類星體本身很可能是星系演化早期普遍經歷的一個階段。隨著星系核心附近「燃料」逐漸耗盡，類星體將會演化成普通的螺旋星系和橢圓星系。

回覆	台大數學系的在6/6/2011 1:58:39 PM的回覆：畢業學分：128 共同必修：國文，外文，體育，服務學習通識課程：18 系必修：57 選修：41 ------------- 必修一：微積分(4/4) 線性代數(3/3) 普通物理學(3/3) 普通物理學實驗(3/3) 計算機程式設計二：高等微積分(4/4) 代數導論(3/3) 常微分方程式導論(3/) 偏微分方程式導論(/3) 三：幾何學(3/) 複數函數論(/3) 機率導論(3/) 計算數學導論(3/) 選修分析與方程，幾何與拓樸，計算與應用，機率與統計，代數與數論，離散數學

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