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弗雷格的算術基礎

發表人

發表日期

11/6/2012 10:15:47 AM

發表內容

弗雷格（Gottlob Friedrich Ludwig Frege，1848－1925）在《算術基礎》中闡述了三條基本原理，這三條原理一方面說明他為什麼要構造他的人工語言系統，另一方面說明算術何以能夠建立在邏輯的基礎之上，這是從哲學的高度出發論證他的邏輯和數學思想的基礎。

弗雷格於1897年發表《概念文字：一種模仿算術語言構造的純思維的形式語言》（Begriffsschrift，eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens）。這本薄薄的書可謂現代邏輯的開山之作。它奠定了數理邏輯中的命題邏輯和一階謂詞邏輯的基礎。然而，對於這本邏輯史上劃時代的專著，在當時卻少有人問津。弗雷格反思其原因，認為除人們對那陌生的符號系統望而生畏外，還不理解他為什麼要構造這一系統的理由。他在1884年發表了專著《算術基礎》（Grundlagen der Arithmetik）。在這本書中，他沒有使用數理邏輯的符號，而是哲學理論上論證他所構造的人工語言系統的基本原理，指出嚴格區分心理的東西和邏輯的東西、主觀的東西和客觀的東西的必要性；強調決不要忘記概念和客體之間的區別；對當時所流行的邏輯學和數學中的心理主義展開批判。他認為邏輯是數學的基礎，數的概念可以被定義為邏輯的類的概念，而類則被看成概念的外延。可以說，《算術基礎》一書是弗雷格在哲學的方面為他的數學基礎研究中的邏輯主義的方案奠定基礎。

回覆	.. 在11/6/2012 10:25:10 AM的回覆：好誇張！維根斯坦說弗雷格這本薄薄的書(中文版僅138頁)是「巨著」，說羅素的數學原理(超厚，而且看不懂，也沒中文翻譯)是著作。不知道維根斯坦是不是「存萬的」還是「條鋼的」？！

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.. 在8/26/2013 3:57:38 PM的回覆：
薛昭雄，數學系的介紹 (通訊處：國立政治大學數學系<現已改為應用數學系>)，其中：

.... 數學通常分純粹數學與應用數學，....有人說，純粹數學的工作，如同美術家、作曲家的工作一樣，它們都是變化萬千的。既然是如此，其奧趣的深邃因人而異，亦因人之不同能力而有許多不同而出人意料的成果。做應用數學的人的工作往往是把實際的問題，變成一個數學問題（請注意這不是很容易的），然後去解決它，不管程式如何，最重要的還是離不開理解和演算。有一點還必須指明是純粹數學與應用數學絕不是相對的，也沒有難念或好念之別。它們是相輔相成，互為因果的。.......

http://210.60.224.4/ct/content/1974/00050053/0003.htm

回覆	.. 在8/26/2013 4:05:11 PM的回覆：除了弗雷格，羅素Russell在他的西方哲學史還提到：蓋奧爾克˙康托把“無窮”集團定義成這樣的集團﹕它具有和整個集團包含著一般多的項的部分集團。他在這個基礎上得以建立起一種極有意思的無窮數的數學理論﹐從而把以前委棄給神秘玄想和混亂狀態的整個一個領域納入了嚴密邏輯的范圍。

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.. 在8/26/2013 4:09:58 PM的回覆：
格奧爾格·費迪南德·路德維希·菲利普·康托爾（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日－1918年1月6日），

出生於俄國的德國數學家（波羅的海德國人）。創立了現代集合論作為實數理論以至整個微積分理論體系的基礎。他還提出了集合的勢和序的概念。由於研究成果得不到認可，並受到以利奧波德·克羅內克為首的眾多數學家的長期攻擊，患抑鬱症，最後精神失常。自1869年任職於哈勒大學，直到1918年，在德國哈勒大學附屬精神病院去世。

當代數學家絕大多數接受康托爾的理論，並認為這是數學史上一次重要的變革。大衛·希爾伯特說：「沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。」

康托爾出生於俄國聖彼得堡，他的父親是丹麥商人，母親是俄國音樂家。1856年他們全家搬到德國，康托爾在德語學校繼續學業，1867年他於柏林大學獲得博士學位。

康托爾提出了通過一一對應的方法對無限集合的大小進行比較，並將能夠彼此建立一一對應的集合稱為等勢，即可以被認為是「一樣大」的。他引入了可數無窮的概念，用來指與自然數集合等勢的集合，並證明了有理數集合是可數無窮，而實數集合不是可數無窮，這表明無窮集合的確存在著不同的大小，他稱與實數等勢（從而不是可數無窮）的集合為不可數無窮。原始證明發表於1874年，這個證明使用了較為複雜的歸納反證法。1891年他用對角線法重新證明了這個定理。另外，他證明了代數數集合是可數集，以及n維空間與一維空間之間存在一一對應。在上述理論的基礎上，康托爾又系統地研究了序數理論，提出了良序原理，即可以給任何集合內的所有元素定義一個大小關係，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。康托爾晚年致力於證明他自己提出的連續統假設，即任意實數的無窮集合或者是可數無窮或者是不可數無窮，二者必居其一，但沒有成功。

康托爾的後半生受到躁鬱症的嚴重影響工作，他不得不經常入院治療。根據後來他發表的論文推測，他患的可能是躁鬱症。他曾寫了一篇驗證1000以下的歌德巴赫猜想的論文，其實幾十年前已經有人驗證到了10000。他又發表了幾篇文學方面的論文，試圖證明弗蘭西斯·培根其實是莎士比亞作品的真正作者。以及神學方面的論文，企圖證明絕對無窮的概念即是上帝。第一次世界大戰期間，他陷於赤貧狀態，最後死於哈雷大學的精神病院。

wiki

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.. 在8/27/2013 6:37:01 PM的回覆：
二項式定理
（英語：Binomial   theorem），又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664年、1665年期間提出。

該定理給出兩個數之和的整數次冪諸如xxxx   展開為類似xxxx   項之和的恆等式。二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理。

In   elementary   algebra,   the   binomial   theorem   describes   the   algebraic   expansion   of   powers   of   a   binomial.   According   to   the   theorem,   it   is   possible   to   expand   the   power   (x   +   y)n   into

a   sum   involving   terms   of   the   form   axbyc,   where   the

exponents   b   and   c   are   nonnegative   integers   with   b   +   c   =   n,

and   the   coefficient   a   of   each   term   is   a   specific   positive

integer   depending   on   n   and   b.   When   an   exponent   is   zero,

the   corresponding   power   is   usually   omitted   from   the   term.

For   example,

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

The   coefficient   a   in   the   term   of   axbyc   is   known   as   the

binomial   coefficient      or      (the   two   have   the   same   value).

These   coefficients   for   varying   n   and   b   can   be   arranged   to

form   Pascal's   triangle.   These   numbers   also   arise   in

combinatorics,   where      gives   the   number   of   different

combinations   of   b   elements   that   can   be   chosen   from   an   n-

element   set.

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.. 在8/28/2013 12:22:21 AM的回覆：
《自然哲學的數學原理》
（拉丁文：Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica），是英國科學家艾薩克·牛頓的三卷本代表作，成書於1686年。1687年7月5日該書的拉丁文版首次出版發行。牛頓本人之後又分別於1713年與1726年進行了兩次修訂。1729年由莫特將其譯成英文付印，就是現在所見流行的英文本。各版均由牛頓本人作了增訂，並加序言。後世有多種文字的譯本，中譯本出版於1931年。

該書的宗旨在於從各種運動現象探究自然力，再用這些力說明各種自然現象。牛頓在書中首次提出牛頓運動定律，奠定了經典力學的基礎。牛頓也是在此書中首次發表了萬有引力定律，還給出了開普勒行星運動定律的一個理論推導（開普勒最早給出的只是經驗公式）。《自然哲學的數學原理》被認為是「科學史上最重要的論著之一」。

1747年法國數學家、物理學家亞歷克西斯·克勞德·克萊羅稱「《自然哲學的數學原理》標誌著一個物理學革命的新紀元。偉大的作者牛頓爵士在書中採用的方法……使數學的光輝照亮了籠罩在假設與猜想的黑暗中的科學。」雖然牛頓的思想在當時沒有立即被接受，在它出版一個世紀後，「沒人可以否認（從《自然哲學的數學原理》中）誕生了一門新的學科，這門學科（至少在特定方面）遠遠超越了它之前的一切事物，成為科學規範的最佳典範。」

牛頓在書中使用的一些數學方法與現代的微積分有較大不同，反而似乎是刻意迴避使用。牛頓更偏重通過繪製圖形的方法來證明，多採用通過消去高階無窮小量取極限的幾何證法。不過，在《原理》中也不是完全看不到微積分的影子。在有的部分還是能夠清楚地看出運用了微積分，不過牛頓稱其為「流數」

牛頓還在《自然哲學的數學原理》的修訂版中提出了他的名言「我不做假設。」（Hypotheses non fingo）

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